グレた確率統計 ～指数分布の補足～

さて、前回の幾何分布と指数分布について少し補足したいと思います。


指数分布の導出過程で、
$$p = \frac{dt}{\mu}$$
と置きましたね。すなわち、ここでpは「微小時間間隔 dt で事象が起こる確率」となっています。
これは、T = X dt と置いたことからも分かります。
この式を少し眺めていると、

[確率] = [確率密度] × [微小時間]

の形に見えてきませんか？つまり、pと対応する確率密度 $\phi$ を、

$$ p = \phi dt $$
$$ \phi = p / dt = 1/\mu $$

と定義してやることができます。これを指数分布に代入してみると、
$$f(t) = \frac{1}{\mu}\cdot \mathrm{exp}(-t/\mu) = \phi \cdot \exp(-\phi t)$$
となります。指数分布の離散版ともいえる幾何分布が、
$$Pr(X=k)= pq^{k-1} ~~~ (p+q=1)$$
だったことを考えると、qの累乗と、指数部に対応付けがしたくなります。

具体例を考えてみると、たとえば幾何分布では、
$$Pr(X \geq  k) = 1 - \sum_{i=1}^{k}p(1-p)^{i-1} \\ = 1 - p\cdot\frac{1-q^{k}}{1-q} = 1- (1-q^k) = q^k$$
であり、これに対応する指数分布の場合を考えると、
$$Pr(T \geq  t) = 1 - \int_{0}^{t} \phi \exp(-\phi t') dt'\\= 1 - [-\exp(-\phi t')]_0^t = 1- (1- \exp(-\phi t)) = \exp(-\phi t)$$
となり、
$$q^k = \exp(-\phi t)$$
と関連づけれそうです。
導出過程のことを考えると、tにとって k と k-1 はほとんど変わらないので、
$$ f(t) = \phi \cdot \exp(-\phi t) $$
というのは、幾何分布において、
$$p \rightarrow \phi$$
$$q^{k-1} \rightarrow \exp(-\phi t)$$
と置き換えたものだとみれます。

もうひとつ、q と exp(-φt) の対応付けが妥当な例を見てみましょう：
$$ q^{k-1} = (1-p)^{k-1} = (1-\phi dt)^k = (1-\phi dt)^{t/dt} = \exp(-\phi t)$$
ここで、$1/({1-\phi dt}) \approx 1$, $k = t/dt$ を用いました。
最後の等式は、指数分布の導出でも用いた、ネイピア数の定義です。

ということで、幾何分布と指数分布の形式的な対応付けが与えられたことになります。
その結果、期待値と分散も幾何分布から指数分布への簡単な対応付けで得られるはずです。