lojban wavelessonについて

www.lojban.orgにも載ってある、lojban wavelessonscontinuedという最新の情報を盛り込んだロジバンの教材がありまして、その日本語訳をちまちましております。

ここで→味噌煮込みロジバン

 ですから、一応、やくみ堂にはロジバンネタはあまり書かないようになるかもしれません。

等差数列と等比数列の和 再考

これの続き。

漸化式をさらに項別に立てればいいのでは、という発想から計算してみました。
前回ですね、|p| < 1 とすれば、fmの分子gmに関する漸化式

が得られたというところまでいきました。

初項は定数ということもあり、gmはどう考えてもpの多項式です。

そこで、gmをpの多項式と仮定してやり、その項別の係数anによる漸化式を立てる。

まず、gmを多項式で表す：

これを上の漸化式に代入して整理すると、

となります。項別にみてやると、３つほど式がでてきます：

あ、あと、g0 = 1 より、a(n,0) = 0 (n≧1) もありますね。

これをせこせこと解いていくと…、とりあえず私はn=2までは出しました（楽だった）：

で、まあ厳密には3,4,5,....と出さなくてはいけないですが、p<<1を考えてみると、

３次以降は切ってもいい値になると思われます。

ということで、（おそらくいい感じの）近似式として、

が得られます。さて、これは本当にいい値なのか…？

てなわけで、p=0.023で横軸にmをとった(和はk=1～50で計算)。

うーん、あまりよろしくない…。3次以降の係数にmがもろに関与してるので、

まあ当たり前といえば当たり前か…。

ということは、結局n=3以降も求めてやらないといけないということですね。

とりあえず、今回はここで締めます。

確率の問題～条件付き平均

問. 1mの棒を区間(0,1)に一様分布している点yのところで折る。そのあと、ymの棒を(0,y)上に一応分布している点xのところで折る。このとき、E(X)を求めよ。

(例題で学べる確率モデルより一部改変）

実際、本書では条件付き平均の項目にある例題なので、それを上手く使って解いているが、
ここでは素朴に問いてみる。

xの平均値は次のようになる：

ここでfx はxの周辺分布とする。
　さて、xの周辺分布は、

である。ここで、同時確率密度を条件付き確率分布を用いて書き直すと、

となる。ここで右辺のそれぞれは、

となるので、xの周辺分布が求まる：

これより、xの平均値は

となる。
　というわけでxの周辺分布を出さなければならないというのが骨の折れるところですね。
条件付き平均の性質を用いれば（E[X|Y] = y/2)であり、E[X] = E[E[X|Y]]を利用）、1/4は簡単に求まりますね。
　この遠回りの解答があってこそ、条件付き平均の有用さが伺えます。

等差数列と等比数列の和

高校数学の数列に出てくるアレですよ。

k・r^k のシグマみたいな。
S = Σ・・・と置いて、 rS を求め、 rS - S ＝ ... としてやって最終的にS=・・・にするやつ。

これしか方法ないんだと思ってましたが、幾何分布の平均と分散を求めるにあたり、
ひとつ閃いた方法がありました（多分たいていの確率の本に載ってる）

これです。ただしm=1,2,3.....です。一応、念のため、f0を求めておくと・・・

となるので、あとは芋づる式にf1,f2....と求めちゃって下さい。

そしてこの感じどっかで見たことあるなと思ったら、ガンマ関数じゃないかな？

ほらなんか似てる！

・・・というのはおいといて。

実際この漸化式を解いていくのは・・・うーん骨が折れるな←
なんやら考えたら、n→∞でも成り立つはずなので、そのときは役に立つかも。
ってなわけで、n→∞の場合を考えてみよう。
すると、まあm=3くらいまでは微分しようかなあという気持ちになれて、
fmの分母が(1-p)^m+1になるなということくらいまでは理解できます。
ということは、漸化式を分子で表すことができるんじゃねえか？という発想に。

これは単純な計算なので、読者の演習問題とする←

fmの分子をgmとすれば、

となります。有用かどうかはわかりませんが、もう少し整理（？）すると、

となります。まあ、最初の漸化式よりかはm=7くらいまでなら求めたくなる具合にはなった。

一般項が出てくれればしめたものだったんですが…今のところ思いつかないですね・・・