等差数列と等比数列の和 再考

これの続き。

漸化式をさらに項別に立てればいいのでは、という発想から計算してみました。
前回ですね、|p| < 1 とすれば、fmの分子gmに関する漸化式

が得られたというところまでいきました。

初項は定数ということもあり、gmはどう考えてもpの多項式です。

そこで、gmをpの多項式と仮定してやり、その項別の係数anによる漸化式を立てる。

まず、gmを多項式で表す：

これを上の漸化式に代入して整理すると、

となります。項別にみてやると、３つほど式がでてきます：

あ、あと、g0 = 1 より、a(n,0) = 0 (n≧1) もありますね。

これをせこせこと解いていくと…、とりあえず私はn=2までは出しました（楽だった）：

で、まあ厳密には3,4,5,....と出さなくてはいけないですが、p<<1を考えてみると、

３次以降は切ってもいい値になると思われます。

ということで、（おそらくいい感じの）近似式として、

が得られます。さて、これは本当にいい値なのか…？

てなわけで、p=0.023で横軸にmをとった(和はk=1～50で計算)。

うーん、あまりよろしくない…。3次以降の係数にmがもろに関与してるので、

まあ当たり前といえば当たり前か…。

ということは、結局n=3以降も求めてやらないといけないということですね。

とりあえず、今回はここで締めます。