等差数列と等比数列の和

高校数学の数列に出てくるアレですよ。

k・r^k のシグマみたいな。
S = Σ・・・と置いて、 rS を求め、 rS - S ＝ ... としてやって最終的にS=・・・にするやつ。

これしか方法ないんだと思ってましたが、幾何分布の平均と分散を求めるにあたり、
ひとつ閃いた方法がありました（多分たいていの確率の本に載ってる）

これです。ただしm=1,2,3.....です。一応、念のため、f0を求めておくと・・・

となるので、あとは芋づる式にf1,f2....と求めちゃって下さい。

そしてこの感じどっかで見たことあるなと思ったら、ガンマ関数じゃないかな？

ほらなんか似てる！

・・・というのはおいといて。

実際この漸化式を解いていくのは・・・うーん骨が折れるな←
なんやら考えたら、n→∞でも成り立つはずなので、そのときは役に立つかも。
ってなわけで、n→∞の場合を考えてみよう。
すると、まあm=3くらいまでは微分しようかなあという気持ちになれて、
fmの分母が(1-p)^m+1になるなということくらいまでは理解できます。
ということは、漸化式を分子で表すことができるんじゃねえか？という発想に。

これは単純な計算なので、読者の演習問題とする←

fmの分子をgmとすれば、

となります。有用かどうかはわかりませんが、もう少し整理（？）すると、

となります。まあ、最初の漸化式よりかはm=7くらいまでなら求めたくなる具合にはなった。

一般項が出てくれればしめたものだったんですが…今のところ思いつかないですね・・・