2013年5月12日日曜日

確率の問題~条件付き平均

問. 1mの棒を区間(0,1)に一様分布している点yのところで折る。そのあと、ymの棒を(0,y)上に一応分布している点xのところで折る。このとき、E(X)を求めよ。

(例題で学べる確率モデルより一部改変)

実際、本書では条件付き平均の項目にある例題なので、それを上手く使って解いているが、
ここでは素朴に問いてみる。

xの平均値は次のようになる:
ここでfx はxの周辺分布とする。
 さて、xの周辺分布は、
である。ここで、同時確率密度を条件付き確率分布を用いて書き直すと、
となる。ここで右辺のそれぞれは、

となるので、xの周辺分布が求まる:
これより、xの平均値は
となる。
 というわけでxの周辺分布を出さなければならないというのが骨の折れるところですね。
条件付き平均の性質を用いれば(E[X|Y] = y/2)であり、E[X] = E[E[X|Y]]を利用)、1/4は簡単に求まりますね。
 この遠回りの解答があってこそ、条件付き平均の有用さが伺えます。

0 件のコメント:

コメントを投稿