Σ(k=1->n) √k について

忌々しき、√1+√2+√3+・・・・ってやつです。

色々試してみたところ、

①　sqrt(n) * (2n+1) / 3

がなかなかいい近似値になりました。
相対誤差はn=18の時点で1%を切ります。

n	厳密値	近似値	相対誤差(%)
5	8.382332347	8.198915917	2.188131207
8	16.30600053	16.02775371	1.70640752
10	22.46827819	22.13594362	1.479127872
20	61.66597781	61.11919138	0.886690596
25	85.63378028	85	0.74010545
50	239.0358006	238.059283	0.408523577
100	671.4629471	670	0.217874584

nが平方数ならば、近似値を使うとルートの計算すら無しで求められますね。

ちなみに、n≧7以上であるなら、こちらを使うのもいいかもしれない。

n=47の時点で相対誤差が0.1%を切ります。

②　(n * sqrt(n) + (n+1) * sqrt(n+1)) / 3

なお最初の近似式はこの式のsqrt(n+1) ≒ sqrt(n) としたものです。

さらにさらに、もう少し厳密にしたいならこちらのほうがいいかも。

相対誤差が、n=6で1%, n=30で0.1%, n=146で0.01% を切ります。

まあその分、式も面倒ですけどね。

③ [(n+1)*sqrt(n+1) + n*sqrt(n) -1] /3

------

まあ近似式の所以は積分近似です。

③が一番求めるのは簡単だと思います。

えーっと、スターリン近似の導出と似たようなもんです！（書くの面倒ぽよ～

※有効数字云々ですが、いずれの場合もn≧20であれば２桁取っていいと思います。
③ならばn=10から２桁とれるとおもいます。３桁はn=30からかな？