位相の周期の話 １

とりとめないです。備忘録的な記事。

sin(θ(t)) と、位相θがtの関数となっているときの”周期”を求めたい。
このような状態で周期という言葉を使うのは変な気がするのは承知の上で、
「そのtの時点のような状態が続いたときの周期」ということです。

普通、周期は、sin(2πt/T) のTとして定義されていて、
角振動数、ω、つまるところ、単位時間あたりの位相の進みを使えば
T=2π/ω とできます。
このωは、位相がたかだか１次関数であればtの係数ですが、
一般的な位相に関しては、「瞬間角振動数」（「平均の速さ」「瞬間の速さ」と対比できる）を

ω = dθ/dt

とできましょう。

このωを用いれば、”周期”は、
T = 2π/ω
と、普通の場合と同じような形として求められます。

ここで、Tとωはtの関数ですので、与えられたTについて、積分すれば

とできるのは難しくないですね。
ここでちょっとした疑問として、

となるときの、周期T(t)はいくらになるだろうか。
この位相は『sin(2πt/T)』という定数のTに「そのまま」関数を挿入してしまうと出てきます。
角振動数ωは

結果、周期T(t)は

となり、彼が予想していた周期とはえらい変わってきますね。